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这就是为什么上帝和魔鬼都喜欢数学......

2020-02-22 点击:552

2000多年来,几何研究一直集中在欧几里德几何上。

因此,欧洲几何学中由直线或曲线、平面或曲面、直线体或曲线体形成的各种几何形状一直是人类理解自然物体形状的有力工具,也是各种学科理论的基础。

以至于物理学巨子伽利略断言:“自然的语言是数学,它的符号是三角形、圆形和其他几何图形”。

但真的是这样吗?

事实上,不是。数学课上学的三角形和四边形等几何都是理想状态。

事实上,云不是球体,山不是圆锥体,海岸线不是圆形,树皮也不光滑,闪电传播路径也不是直线。

显然,面对这些不规则、不平滑和不连续的几何形式,“通用”的欧洲几何是行不通的。

这些无法解释的现象早就被聪明的数学家发现了。但是没有办法。这个问题如此奇怪,以至于数学家们不得不花一个世纪来解决它。

所以,今天超模金将向你展示什么数学怪物

实际上出现了。

1872年7月18日,卡尔维尔斯特拉斯创造了第一个函数怪物:维尔斯特拉斯函数,在当时严重击败了数学家。

weiers trass function

你知道,大多数数学家认为,除了一些特殊的点,连续函数曲线总是在每一点都有斜率。然而,魏尔斯特拉斯函数并不走通常的路线,在曲线上显示“处处连续,处处可微”。

无限迭代的魏尔斯特拉斯函数

不仅是魏尔斯特拉斯函数,还有皮亚诺曲线,打破了数学界的传统认识。

1890年,意大利数学家皮亚诺构造了一条违反数学直觉的曲线。曲线本身并不相交,但它可以穿过正方形内的所有点。

peano curve

换句话说,这条曲线就是正方形本身,面积与正方形相同。

但是还有一个问题,曲线的维数是1维,正方形是2维。这条曲线是一维的还是二维的?将来我们用什么来区分曲线和平面?

peano curve

filled with squares,the突如其来的曲线,正式启动了分形几何研究的第一炮。

1904年,科赫提出了一种周长大于地球直径的科赫雪花。

Koch雪花

一般来说,当我们测量非分形曲线时,我们把它们放大到足够大,然后用直线拟合一条短曲线,在短范围内进行一阶泰勒展开,近似为直线,最后求出总长度。

但这种方法根本不适用于分形曲线。因为你会发现分形图案是无限迭代的,不管尺度有多小,细节总是会出现。

所以理论上,科赫雪花有无限的周长,但有趣的是,它的面积是有限的,可以被一个稍大一点的圆完全覆盖。

无限周长的科赫雪花

当然,除了维尔斯特拉斯函数、皮亚诺曲线和科赫雪花之外,数学史上还出现了许多奇怪的分形结构。

例如,1915年瓦克拉夫谢尔宾斯基提出的西尔宾斯基三角和西尔宾斯基地毯。

Sierpinski三角形

Sierpinski地毯

和1938年由Paullvy提出的vyC曲线。

lvyc曲线

可以说,分形怪物的每一次出现都打破了当时数学界的认知,让数学家们束手无策。“分形理论是如何诞生的”这个未解决的怪物问题持续了一个多世纪,直到伯努瓦曼德尔布罗出现。1967年,他发表了一篇划时代的论文,题为《英国的海岸线有多长》,它刚刚引发了分形思想。

这篇文章一发表,学术界就有各种各样的意见,其中有很多人反驳说:“韩寒,长度测量还没完成吗?”

事实上,长度问题是衡量。然而,曼德尔波特并不想测量长度,而是想反映一个问题:任何人对海岸线长度的回答都会得到不同的答案,因为他们使用不同的最小测量单位。

想象一下,当我们以100公里为单位测量英国海岸线的长度时,我们将使用28个单位,也就是2800公里。但是,如果最小单位减少到50公里,将使用68个单位,结果得到3400公里的答案,比前一个答案多600公里。

换句话说,如果你使用更小的测量单位,比如原子,你会得到一个无限的答案。

这就是着名的“海岸线悖论”:大不列颠岛有限的面积有无限的周长。

为了详细描述这种重复或相似的数学数字,曼德尔波特在1975年正式提出了“分形”一词,并用引人注目的计算机构造的视觉效果解释了他的数学定义。

利用加斯顿朱利亚创立的迭代理论和公式z=z2 c,通过一台高性能计算机对该数进行了数千次计算和处理,最终成功地绘制出了魔鬼的聚合物/上帝指纹。

Mandelbrot set

公式使用变量z和参数c来映射复平面上的值。其中x轴测量复数的实部,y轴测量复数的虚部。

迭代是一种重复反馈过程的活动,通常是为了接近期望的目标或结果。流程的每次迭代称为“迭代”,每次迭代的结果将作为下一次迭代的初始值。

在曼德布罗,你会明白分形是一种具有自相似特征的现象、图像或物理过程。

可以这样说,分形的核心是自相似性,也就是说,只要取任意一部分并适当放大,你仍然可以得到一个与原始整体图形相似的图形,这就相当于连续克隆,一个比另一个小,并且不断重复。

正是这一举措,它帮助数学家彻底解决了困扰每个人n年的数学难题,并使曼德勃罗成为20世纪着名的“分形理论之父”。

伯努瓦曼德尔布罗

不同于具有2000多年历史的经典几何理论。分形理论自提出以来仅经历了40年。

作为自然界复杂表面下的一种内部数学秩序,它使人们从一个新的角度看待世界。它的出现不仅填补了欧几里德几何2000多年的空白,而且为描述自然提供了一种新的方法。

分形理论无处不在

毫不夸张地说,分形理论是当今世界非常流行和活跃的新理论和新学科。

就连美国物理学家约翰阿奇博尔德惠勒也这么认为:“未来不理解分形理论的人不能被称为科学文化人。”

这次我真的没有骗你。分形理论几乎存在于所有领域,无论是生物学、天体物理学、材料科学、计算机科学等。

首先,上面提到的Sierpinski三角形在早期已经被用于收集和wifi系统。

原因很简单。分形天线的自相似结构使它们能够在一定的频率范围内接收和发射。

另外,在计算机图像处理领域,分形极大地丰富了计算机图形学的内容。

这包括反复模拟地理地形和构建自然结构。这张

的图片来自维基百科

此外,分形甚至可以帮助计算机更好地散热。

俄勒冈州立大学的工程师利用人类血管的分形图案,开发出可以蚀刻到硅片上的分形图案,让冷却液(如液氮)均匀地流过硅片表面并保持其冷却。

例如,分形在医学中的应用。

大多数情况下,借助于现代成像设备(如电脑断层扫描和核磁共振成像机)产生的大量数据,即使训练有素的专家也无法快速准确地找到所有数据。

但是分形理论不同,因为人体充满了分形。我们可以用分形数学来量化、描述和诊断,从而达到治病的目的。

其中,我们可以根据健康肺和患病肺的分形维数的不同来自动检测疾病。

照片来自哈佛大学埃德温斯蒂尔实验室。

例如,在工程中,工程师将利用分形理论来建造高强度的缆索,从而实现巨型悬索桥的建造。

图片来自乔纳森沃尔夫伯纳德詹森

在上面的应用中,你看不到那些简单而完美的欧几里德几何形状,你只能看到复杂的分形。

有趣的是,复杂性背后隐藏着部分和整体之间“自相似性”的本质联系。

数学的美就像一个不断扩大的分形,令人激动和鼓舞,我们一直在研究它,研究它,但我们看不到终点。

与此同时,看着这些精彩的分形电影,超级模特相信曼德尔布罗不是唯一一个可以被称为“分形之父”的人,也是那个在山上讲故事的老和尚。

从前,有一座山,山上有一座寺庙。寺庙里有一个老和尚。老和尚正在给小和尚讲故事。故事是这样的:从前有一座山.

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